{"id":1827,"date":"2010-06-16T10:56:06","date_gmt":"2010-06-16T08:56:06","guid":{"rendered":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/?p=1827"},"modified":"2020-03-05T10:51:39","modified_gmt":"2020-03-05T09:51:39","slug":"i-quadrati-magici-tra-matematica-ed-esoterismo-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/i-quadrati-magici-tra-matematica-ed-esoterismo-2\/","title":{"rendered":"I quadrati magici tra matematica ed esoterismo"},"content":{"rendered":"<p><strong>Quando si parla di \u201cquadrato magico\u201d si intende generalmente una struttura a forma di scacchiera con un numero variabile di caselle. Al loro interno vengono disposti dei numeri interi in modo da ottenere per ogni fila orizzontale, verticale e diagonale sempre la medesima somma. Tale numero viene chiamato costante magica o somma magica.<\/strong><\/p>\n<p><em>D. B. \u2013 Il Dovere, Lugano (Revista massonica svizzera giugno\/luglio 2010)<\/em><\/p>\n<p><strong>Definizione<\/strong><\/p>\n<p>Il quadrato magico originale era un quadrato costituito dai primi nove numeri interi {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, distribuiti in modo tale che i numeri nelle tre righe, nelle tre colonne e nelle due diagonali, sommati, dessero come risultato 15. Per esempio il seguente quadrato risulta dotato di propriet\u00e0 \u201cmagiche\u201d. In effetti, come si vede, la sommadelle righe, delle colonne e delle diagonali d\u00e0 sempre 15.<\/p>\n<p>L\u2019ordine del quadrato magico \u00e8 dato dal numero di righe o colonne. Per esempio il quadrato appena riportato \u00e8 di ordine 3 perch\u00e9 ha tre colonne. Un quadrato 4 x 4 viene chiamato quadrato magico di \u201cordine 4\u201d, uno 5 x 5 di \u201cordine 5\u201d e cos\u00ec via. In generale, un quadrato n x n (=n2) \u00e8 noto sotto il nome di quadrato di \u201cordine n\u201d. Uno dei modi pi\u00f9 usati per trovare lacostante magica \u00e8 il seguente: si prende l\u2019ordine del quadrato magico, n, e si trova il valore di\u00bd(n(n2+1), dove il quadrato magico \u00e8 formato dai numeri naturali 1, 2, 3\u2026,n2. In effetti \u00bd (3(32+1))=15. Non \u00e8 stato ancora trovato un metodo generale per costruire un quadrato magico di ordine pari di qualsiasi dimensione. Ci sono invece diversi metodi generali, sui quali non possiamo evidentemente soffermarci in questa sede, che si possono usare per costruire un quadrato magico di ordine dispari di qualsiasi dimensione.<\/p>\n<p><strong>Storia<\/strong><\/p>\n<p>Il primo quadrato magico di cui si abbia conoscenza \u00e8 antichissimo; gli studiosi lo collocano nell\u2019antica Cina, ai tempi della dinastia Shang, due millenni prima dell\u2019era cristiana. La leggenda racconta di un pescatore che un giorno lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, vide una tartaruga che lasciava intravedere sul guscio un sistema di segni particolare. Dopo aver portato la strana tartaruga dall\u2019imperatore, i matematici al suo servizio si impegnarono a cercare di decifrare un eventuale codice di tale sistema di segni. Essi scoprirono che raffigurava una struttura geometrica, in particolare un quadrato di una serie di numeri che davano come somma costante di ogni riga, colonna e diagonale il numero 15. Questo strano quadrato dalle propriet\u00e0 \u201cmagiche\u201d venne chiamato Lo Shu e assunse un valore simbolico e sacro della Cina di quel periodo rinviando a leggi misteriose dell\u2019essenza dell\u2019universo e della matematica. Il pi\u00f9 antico documento che fa stato di questa leggenda della tartaruga, senza peraltro menzionare il tema del quadrato magico, risale al VII secolo a.C. Dalla Cina sembra che i quadrati magici si sianopropagati in Indiaein Persiaapartire dal X secolo. In seguito giunsero in Europa non prima del XIV secolo. Come e grazie a quali personaggi i quadrati magici sono passati dalla Cina all\u2019India, all\u2019Islam e poi in Europa resta per il momento un mistero. Quello che si sa \u00e8 che i quadrati magici originari dalla Cina erano di ordine 3. Infatti le prime tracce di quadrati di ordine 4 sono state ritrovate in India nel primo secolo d. C. e quelle di ordine otto sono state localizzate in Persia nel IX secolo d.C. e sono verosimilmente legate al gioco degli scacchi, apparso in India nell\u2019VIII secolo. I quadrati magici approdarono in Europa relativamente tardi. Nel 1315 Emmanuel Moschopoulos, un filosofo greco di Costantinopoli, scrisse un trattato sui quadrati magici ispirandosi ai lavori di Al Bunimaliberandoli dalla loro sovrastruttura esoterica. Nel Rinascimento, Luca Pacioli (1445-1517), a partire dall\u2019opera di Moschopoulos, costru\u00ec un numero di quadrati di diverso ordine epubblic\u00f2 nel 1494 un libro di referenza in matematica (Somma de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalit\u00e0). L\u2019interesse esoterico riprese vigore soprattutto con Marsilio Ficino (1493-1499) che sostenne che i quadrati magici discendevano da documenti cabalistici risalenti alla tarda antichit\u00e0. La tradizione esoterica si \u00e8 costantemente alimentata alle suggestioni emanate dai quadrati magici. In questo ambito c\u2019\u00e8 senz\u2019altro da segnalare l\u2019enigmatica incisione che il pittore Albrecht D\u00fcrer (1471-1528) cre\u00f2 dandole il titolo di \u201dMelancolia\u201d.<\/p>\n<p>Come si vede si tratta di un quadrato magico di ordine 4 che comprende i primi 16 numeri. La sua costante vale 34. Il quadrato ha numerose propriet\u00e0 \u201cmagiche\u201d. Oltre ad apparire in ogni riga, colonna e diagonale, la costante del quadrato magico appare anche:<\/p>\n<ul>\n<li>nella somma delle cifre poste ai 4 angoli (16 + 13 + 4 + 1 = 34)<\/li>\n<li>nella sommadelle quattrocifre al centro (10 + 11 + 6 + 7= 34)<\/li>\n<li>nella somma delle cifre 15 e 14 nella fila in basso e delle cifre 3 e 2 a loro opposte nella fila in alto (15 + 14 + 3 + 2= 34)<\/li>\n<li>nella somma delle cifre 12 e 8 nella colonna di desta e delle cifre 9 e 5 poste di fronte nella colonna di sinistra (12 + 8 + 9 + 5 = 34)<\/li>\n<li>nella somma delle cifre di ognuno dei quattro quadrati negli angoli (16 + 3 + 5 +10 = 34; 2 + 3 + 11 + 8 = 34; 9 + 6 + 4 +15 = 34; 7 + 12 + 14 +1 = 34).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Spesso i quadrati magici si supponevano dotati di virt\u00f9 soprannaturali perch\u00e9 rappresentavano la struttura nascosta del cosmo, le leggi che governano armonicamente l\u2019universo e quindi in ultima analisi la ragione divina. Venivano incisi su piastre d\u2019oro o d\u2019argento ed erano consigliati come talismani capaci di preservare da malattie, povert\u00e0, problemi sentimentali\u2026<\/p>\n<p>Nel contesto della tradizione esoterica il pi\u00f9celebre ed enigmatico quadrato magico \u00e8 senz\u2019altro quello del \u201csator\u201d. Esso \u00e8 costituito dalla seguente struttura letterale:<\/p>\n<p>Questo quadrato rivela immediatamente una struttura palindroma che consente di leggere in molte direzioni diverse la sequenza di cinque parole, di cinque lettere ciascuna: SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS. Il quadrato in questione \u00e8 stato ritrovato in diversi testi antichi ed \u00e8 raffigurato su antichi monumenti in molti luoghi europei. Sulla sua origine e sul suo significato sono state formulate svariate congetture. In un primo tempo il quadrato venne considerato un\u2019invenzione medievale; tutte le fonti conosciute in effetti non erano anteriori al VI secolo. Nel 1868, tuttavia, venne ritrovato un graffito raffigurante il quadrato tra le rovine di Cirencester (l\u2019antica Corinium), ed esso fu datato tra il II ed il IV secolo d. C. Una delle prime ipotesi avanzate fu quella che vedeva nel quadrato una croce nascosta, e pi\u00f9 precisamente un sistema dei primi cristiani per rappresentare la croce in forma criptata. Infatti come osserv\u00f2 il pastore evangelista Felix Grosser nel 1926 le venticinque lettere del quadrato possono essere disposte in modo da formare le parole PATERNOSTER incrociate, fra unaAeduna O, corrispondenti alle lettere greche alfa e omega, cio\u00e8 i simboli del principio e della fine di tutte le cose.<\/p>\n<p>\u201cQualche difficolt\u00e0 sorse per interpretare il significato della parola AREPO, che non esiste nella lingua latina. Lo studioso Giuseppe Aldo Rossi scopr\u00ec che nelle Gallie esisteva un\u2019unit\u00e0 di misura di superficie che veniva chiamata semiiugerum o arepennis. Quest&#8217;ultima parola sembrava derivare dal nome del carro arepos, utilizzato nei lavori agricoli. Rossi ipotizz\u00f2 allora che il celtico arepos diventasse per i latini arepus. A conferma di tale ipotesi venne ritrovata un&#8217;edizione della Bibbia greca del XIV secolo che, riportando una traduzione del quadrato magico, traduceva la parolaAREPO con laparolagreca arotron che significa carro. Utilizzando tale ipotesi le parole del quadrato vennero interpretate nel modo seguente: \u00abIl Seminatore, col suo carro, tiene con cura le ruote\u00bb. Altri autori hanno proposto diverse interpretazioni. Ad esempio, Ludwig Diehl, forn\u00ec la seguente traduzione: \u00abIl seminatore possiede le opere\u00bb, ovvero \u00abDio \u00e8 il Signore del creato\u00bb. In ogni caso vi fu un sostanziale accordo nel ritenere che il quadrato avesse un significato cristiano e che la sua origine fosse collocabile in Gallia e databile intorno al III secolo d.C.\u201d (Fuso, 2006, p.180)<\/p>\n<p>Tuttavia, nel 1925 e nel 1936, due esemplari del quadrato vennero ritrovati negli scavi archeologici di Pompei. Tale scoperta costitu\u00ec verosimilmente una confutazione dell\u2019 lnterpretazione che ipotizzava un\u2019origine cristiana del quadrato. Anche in altre parti d\u2019 Europa si trovano esemplari di questo quadrato. Per esempio \u201cin Francia nella chiesa san Lorenzo di Rochemaure; in una vecchia abitazione di Le-Puy; nei castelli di Chinon, di Jarnac e di Gisors. In Spagna a san Giacomo di Compostela, in Ungheria in una villa romana di Acquincum, l\u2019odierna Altofen\u201d (Ibid.) Alla luce del fatto che alcune tra queste localit\u00e0 furono possedimenti dei templari, diversi studiosi hanno supposto un legame fra il quadrato magico e il celebre ordine religioso-militare. Altri autori hanno inoltre formulato interpretazioni esoteriche, cabalistiche e astrologiche del quadrato magico. Davanti ad una serie di interpretazione pur coerenti ma incompatibili resta a tutt\u2019oggi azzardato pronunciarsi con certezza sull\u2019origine e sul significato del quadrato del \u201csator\u201d.<\/p>\n<p><strong>Massoneria<\/strong><\/p>\n<p>Le suggestioni simboliche inerenti ai quadrati magici hanno fornito elementi da interpretare anche in chiave massonica. Oswald Wirth per esempio, nel suo Libro del maestro, facendo riferimento al seguente quadrato magico di saturno (cio\u00e8 di ordine 3) assimila le cifre della prima colonna (8-3-4) alla colonna J del tempio, quelli della terza colonna alla colonna B, 1, 5 e 9 che si rapportano rispettivamente all\u2019Apprendista, al Compagno e al Maestro piazzati tra le colonne. L\u2019Apprendista deve prima di tutto distinguere 8 (ragione e rigore) da 6 (sentimento e bont\u00e0). Il Compagno deve distinguere 3 (concezione teorica e astratta) e 7 (esecuzione pratica e concreta). Il maestro 4 (positivismo matematico) e 2 (sottili capacit\u00e0 intuitive). In diagonale si oppongono anche 2 (lo sconosciuto e l\u2019inesplorato) e 8 (logica, ordine, legge), 4 (volere positivo che ordina) e 6 (aspirazione sentimentale). L\u2019iniziazione parte da 8 (ragionamento dell\u2019Apprendista esercitato nei limiti del compasso) per approdare a 2 (veggenzadel maestroche sonda le profondit\u00e0 dell\u2019infinito). Come sottolinea Jean-claude Michaud (cfr. capitolo IV) il quadrato magico \u00e8 simile allo specchio della regina nella fiaba di Biancaneve: risponde alle questioni che gli si pone. Possiede un\u2019architettura suscettibile di accogliere questioni di ordine metafisico, cosmologico, spirituale, esistenziale a dipendenza della particolare inclinazione dell\u2019animo di chi lo interroga. I riflessi dello specchio, e quindi del quadrato, sono le risposte indirette alle nostre domande fondamentali svelate dalla nostra anima profonda. Lo specchio non pu\u00f2 mentire se il soggetto che pone le domande \u00e8 sincero con s\u00e9 stesso. Come la superficie immobile dell\u2019acqua limpida e pura il quadrato magico lascia anch\u2019esso trasparire l\u2019immagine oggettiva della realt\u00e0, in tal senso rappresenta sempre e in primo luogo una preziosa fonte di autentica verit\u00e0.<\/p>\n<p><strong>Interessi matematici<\/strong><\/p>\n<p>Diversi matematici hanno lasciato un contributo significativo allo studio dei quadrati magici. Per quanto riguarda l\u2019Asia, un matematico cinese del XIII secolo, Yang Hui formul\u00f2 il primo algoritmo di costruzione dei quadrati magici di ordine 4. Sviluppi interessanti nello studio dei quadrati magici avvennero in Giappone all\u2019inizio del periodo Edo (1603-1867). In particolare due matematici, Seki Takakazu (1642-1708) e Tanaka Yioshizane (1651-1719) costruirono dei quadrati concentrici di ordine 7,8,9 e 10 che stupiscono ancora oggi. In Europa, specialmente in Francia, i quadrati magici polarizzarono l\u2019interesse di matematici e filosofi di primo ordine. Pierre de Fermat (1601-1665) costru\u00ec il primo cubo di ordine 4. Blaise Pascal (1623-1662) scrisse in seguito un trattato sui quadrati magici, il Trait\u00e9 des nombres magiquement magiques, che indirizz\u00f2 all\u2019Accademia delle scienze nel 1654. Tra gli intellettuali francesi del XVII secolo che si sono interessati ai quadrati magici non bisogna dimenticare il padre Marin Mersenne (1588- 1648), amico di Fermat, a cui dobbiamo differenti memorie sulla teoria dei numeri o Bernard F\u00e9nicle de Bessy (1605-1675), un corrispondente di Mersenne, che fu il primo a pubblicare una lista di 880 quadrati di ordine 4. Nel XVIII secolo il grande matematico Leonhard Euler (1707-1783) studi\u00f2 i quadrati magici e ne schizz\u00f2 la teoria in un\u2019opera intitolata De Quadratis Magicis, apparso nel 1776. Anche Benjamin Franklin (1706-1790) si interess\u00f2 ai quadrati magici e ne divenne un abile costruttore. L\u2019interesse per i quadrati magici rest\u00f2 vivo anche nel XIX secolo. Numerosi sono i matematici che cercarono di mettere a punto un metodo per la loro costruzione. Ci prov\u00f2 anche il grande Friedrich Gauss (1777-1855), tuttavia, come detto, nessuno riusc\u00ec a scoprire un metodo di costruzione generale: gli algoritmi sono differenti a dipendenza dell\u2019ordine pari o dispari dei quadrati. Con l\u2019avvento dei calcolatori elettronici, nella seconda met\u00e0 del XX secolo, e i recenti sviluppi dell\u2019informatica la costruzione dei quadrati magici \u00e8diventata pi\u00f9semplice ed ha permesso l\u2019ideazione di altre strutture geometriche \u201cmagiche\u201d come stelle, cerchi, cubi e ipercubi, cio\u00e8 enti geometrici che sembrano persino aprire itinerari di ricerca inediti negli studi matematici.<\/p>\n<p><strong>Conclusioni<\/strong><\/p>\n<p>\u00c8 piuttosto curioso, e anche paradossale, che i quadrati magici possano essere stati oggetto di interesse parallelo tra i cultori di scienze occulte o esoteriche e di alcuni tra i pi\u00f9 grandi scienziati. In realt\u00e0 la stessa rivoluzione scientifica del XVI e XVII secolo, come la recente e pi\u00f9 aggiornata storiografia ha messo in rilievo con abbondanza di dati, manifesta una rilevante presenza della tradizione magica e di quella ermetica all\u2019interno del processo che \u00e8 la rivoluzione scientifica. In altri termini si pu\u00f2 dire che la scienza moderna pubblica nei controlli, assoggettata ad un metodo rigoroso ed oggettivo, con le sue istituzioni e con il suo linguaggio univoco e chiaro \u00e8 il risultato di un lungo processo in cui si intrecciano misticismo, ermetismo, magia, alchimia e astrologia. Quel Rinascimento che abitualmente viene presentato come l\u2019et\u00e0 del rinnovamento delle arti e dell\u2019emergenza del sapere scientifico \u00e8 anche il tempo della magia per eccellenza. Un tempo che proietta la sua ombra persino sulla nostra epoca, in apparenza razionale e disincantata, ma che si interessa ancora a miracoli ed oroscopi, filtri d\u2019amore e fatture pi\u00f9 o meno maligne. Se pu\u00f2 suscitare un certo stupore l\u2019interesse convergente verso i quadrati magici dei cultori di discipline occulte e degli addetti alla scienza propriamente detta, ancora pi\u00f9 stupefacente ci sembra l\u2019interesse costante che questi poligoni, apparentemente di scarsa importanza e probabilmente inutili da un punto di vista economico e militare, hanno saputo esercitare di generazione in generazione passando indenni attraverso i secoli e scavalcando con una facilit\u00e0 sconcertante culture, popoli e lingue dell\u2019intero pianeta. Tra le diverse propriet\u00e0 \u201cmagiche\u201d di questi quadrati annovererei quindi pure l\u2019inossidabilit\u00e0 ai cambiamenti epocali di tempo, ma anche di spazio, che queste particolari griglie numeriche hanno saputo dimostrare .<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Quando si parla di \u201cquadrato magico\u201d si intende generalmente una struttura a forma di scacchiera con un numero variabile di [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":12,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uf_show_specific_survey":0,"_uf_disable_surveys":false,"footnotes":""},"categories":[22],"tags":[],"class_list":["post-1827","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-categorizzato"],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1827","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/users\/12"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1827"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1827\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2593,"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1827\/revisions\/2593"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1827"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1827"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/old.freimaurerei.ch\/it\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1827"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}